Barisan dan Deret Bilangan – SMP Kelas VII

1. Barisan Bilangan Sederhana

Barisan bilangan dibentuk oleh bilangan-bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Barisan bilangan ini dapat kita teruskan suku-sukunya apabila aturan untuk memperoleh suku berikutnya sudah ditentukan.

Perhatikan barisan bilangan berikut ini :
1, 2, 4, 7, 11, …
Artinya :
Suku pertama ditulis  U₁ = 1
Suku ke-dua ditulis   U₂ = 2
Suku ke-tiga ditulis  U₃ = 4
Suku ke-empat ditulis U₄ = 7
Dan seterusnya …

Suku ke-n ditulis U_n

Suku berikutnya dari barisan tersebut dapat diteruskan dengan aturan ”menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”

Perhatikan barisan bilangan berikut :

”Suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”.

Dengan cara di atas maka untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan meneruskan pola yang ada. Namun demikian, untuk n yang besar misalnya n = 50, kita akan mengalami kesulitan, untuk itu akan kita pelajari bagaimana menentukan suku ke-n dengan menggunakan rumus U_n

Contoh-contoh barisan bilangan khusus antara lain :

• Barisan Bilangan Asli : 1, 2, 3, 4, …

Rumus suku ke-n adalah U_n = n
Suku ke-10 adalah U₁₀ = 10

• Barisan Bilangan Genap : 2, 4, 6, 8, …

Rumus suku ke-n adalah Un = 2n
Suku ke-20 adalah U20 = 2 x 20 = 40

• Barisan Bilangan Ganjil : 1, 3, 5, 7, …

Rumus suku ke-n adalah Un = 2n – 1
Suku ke-15 adalah U15 = 2 x 15 – 1 = 29

• Barisan Bilangan Kuadrat / persegi : 1, 4, 9, 16, …

Rumus suku ke-n adalah Un = n2
Suku ke-12 adalah U12 = 122 = 144

Barisan bilangan juga dapat diperoleh dari pengembangan pola yang teratur, contoh :

• Barisan Bilangan Persegi Panjang : 2, 6, 12, 20, …

Pola  , …
Rumus suku ke-n adalah U_n = n(n+1)
Suku ke-8 adalah U₈ = 8 (8+1) = 8 x 9 = 72

• Barisan Bilangan Segitiga : 1, 3, 6, 10, …

Pola  , …
Rumus suku ke-n adalah U_n = ½ n(n+1)
Suku ke-10 adalah U₁₀ = ½ x 10 (10+1) = 5 x 11 = 55

• Barisan Bilangan Pada Segitiga Pascal

Baris ke-n diperoleh dengan menjumlahkan dua suku berurutan pada baris sebelumnya
Jumlah bilangan pada baris ke-1 = 1 = 1 = 2⁰ = 2^1-1
Jumlah bilangan pada baris ke-2 = 1 + 1 = 2 = 2¹ = 2^2-1
Jumlah bilangan pada baris ke-3 = 1 + 2 + 1 = 4 = 2² = 2^3-1
Jumlah bilangan pada baris ke-4 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³ = 2^4-1
Rumus jumlah bilangan pada baris ke-n = 2^n-1

2. Barisan Aritmetika dan Geometri

a. Barisan Aritmetika

Adalah barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dari penambahan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap (tertentu), bilangan yang tetap tersebut dinamakan beda (b)

• Barisan bilangan : 2, 5, 8, 11, …

Suku awal / suku pertama atau a = 2
Beda atau b = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 3
Barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika naik

• Barisan bilangan : 20, 18, 16, 14, …

Suku awal / suku pertama atau a = 20
Beda atau b = 18 – 20 = 16 – 18 = 14 – 16 = -2
Barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika turun

Rumus Suku ke-n (Un) dari Barisan Aritmetika
U1 = a      = a + (1-1)b
U2 = a + b  = a + (2-1)b
U3 = a + 2b = a + (3-1)b
U4 = a + 3b = a + (4-1)b
…
Un = a + (n-1) b
Jadi rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah :

dengan Un = Suku ke-n
a = suku awal / suku pertama
b = beda

Contoh :
Tentukan suku ke-15 dan suku ke-20 dari barisan : 1 , 4 , 7 , 10 , …

Jawab :
a = 1
b = 4 – 1
= 7 – 4
= 3

Un = a + (n-1) b
U15 = 1 + (15 – 1) x 3
= 1 + 14 x 3
= 1 + 42
= 43

U20 = 1 + (20 – 1) x 3
= 1 + 19 x 3
= 1 + 57
= 58

Jadi suku ke-15 = 43 dan suku ke-20 = 58

b. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah Barisan bilangan yang suku-suku berikutnya diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan bilangan tetap yang tidak sama dengan nol. Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding (rasio)

• Barisan bilangan : 2, 6, 18, 54, …

Suku awal / suku pertama atau a = 2
Rasio atau r = 6 : 2 = 18 : 6 = 54 : 18 = 3
Barisan tersebut dinamakan barisan geometri naik

• Barisan bilangan : 20, 10, 5, 2,5 , …

Suku awal / suku pertama atau a = 20
Rasio atau r = 10 : 20 = 5 : 10 = ½
Barisan tersebut dinamakan barisan geometri turun

Rumus Suku ke-n (Un) dari Barisan Geometri
U1 = a      = a x r^1-1
U2 = a x r  = a x r^2-1
U3 = a x r2 = a x r^3-1
U4 = a x r3 = a x r^4-1
…
Un = a  x r^n-1

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah :

dengan Un = suku ke-n
a = suku awal / suku pertama
r = rasio

Contoh :
Tentukan suku ke-9 dari barisan : 2 , 4 , 8 , 16 , …

Jawab :
a = 2 ,  r = 4 : 2 = 8 : 4 = 2
Un = a x rn-1
U9 = 2 x 29-1
= 2 x 28
= 2 x 256
= 512
Jadi suku ke-9 adalah 512

3. Deret Aritmetika dan Geometri

a. Deret Aritmetika

Apabila barisan bilangan aritmetika dijumlahkan maka akan terbentuk deret Aritmetika

Contoh :
Barisan Aritmetika : 2, 6 , 10 , 14 , … .
Deret Aritmetika : 2 + 6 + 10 + 14 + … .
Jumlah n suku pertama deret aritmetika ditulis dengan S_n
Jadi S₁ = U₁ = 2
S₂ = U₁ + U₂ = 2 + 6 = 8
S₃ = U₁ + U₂ + U₃ = 2 + 6 + 10 = 18
S₄ = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ = 2 + 6 + 10 + 14 = 32
…..
Sn = U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n

Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika

Sn = U1 +    U2      +     U3     + … + Un
Sn =  a + (a + b)  + (a + 2b) + … + Un
Sn = Un + Un – b    + Un – 2b  + … + a
———————————————– +
2.Sn = (a + Un) + (a + Un) + … + (a +Un)
2.Sn = n (a + Un)
,



dengan S_n = jumlah n suku pertama
a  = suku awal
b  = beda

Contoh :
Jumlah dari  100 + 95 + 90 + 85 + … + 5 = …

Jawaban :
a = 100
b = 95 – 100
= 90 – 95
= -5
Un = a + (n-1)b
5 = 100 + (n-1)(-5)
95 = (n-1)(-5)
19 = (n-1)
n = 20

Jadi jumlah dari 100 + 95 + 90 + 85 + … + 5 = 1.050

b. Deret Geometri

Apabila barisan bilangan geometri dijumlahkan maka akan terbentuk deret geometri
Contoh :
Barisan geometri : 2, 6 , 18 , 54 , … .
Deret geometri : 2 + 6 + 18 + 54 + … .
Jumlah n suku pertama deret aritmetika ditulis dengan S_n
Jadi S₁ = U₁ = 2
S₂ = U₁ + U₂ = 2 + 6 = 8
S₃ = U₁ + U₂ + U₃ = 2 + 6 + 18 = 26
S₄ = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ = 2 + 6 + 18 + 54 = 80
…

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri
S_n = U₁ +    U₂ +     U₃ + … + U_n

S_n =  a +   (ar)    +    (ar²)   +  … + ar^n-1
r x S_n =          (ar)     +    (ar²)   + …. + ar^n-1 + arⁿ
–
S_n– r.S_n =  a   +    0       +     0      +       +   0    – arⁿ
(1 – r)S_n = a                                             – arⁿ
(1 – r)S_n = a (1 – rⁿ)

untuk nilai r < 1,  atau , untuk r > 1

dengan S_n = jumlah n suku pertama
a = suku awal
r = rasio

Contoh :
Jumlah dari  400 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = …

Jawaban :
a = 400
r = 200 : 400
= 100 : 200
= ½
n = 6

Jadi jumlah dari 500 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = 787,5

Perbandingan – SMP Kelas VII

1. Arti Perbandingan

Perbandingan merupakan suatu hal yang sangat penting dalam matematika, demikian juga dalam kehidupan sehari-hari kita pun tidak lepas dari perbandingan.
Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut :
a. Usia Ayah 45 tahun dan usia ibu 40 tahun, sedangkan usia Ali 15 tahun serta usia Ani 10 tahun.

Perbandingan usia ayah dan ibu = 45 tahun : 40 tahun = 45 : 40 = 9 : 8
Perbandingan Usia Ali dan Ani = 15 tahun : 10 tahun = 15 : 10 = 3 : 2
Perbandingan usia Ayah dan Ali = 45 tahun : 15 tahun = 45 : 15 = 3 : 1

b. Tinggi badan Dewa 160 cm, tinggi badan Dewi, 120 cm dan tinggi badan Gita 60 cm

Perbandingan tinggi badan Dewa dan Dewi = 160 cm:120 cm = 160:120 = 4:3
Perbandingan tinggi badan Dewi dan Gita = 120 cm:60 cm = 120:60 = 2:1
Perbandingan tinggi badan Dewa dan Gita = 160 cm:60 cm = 160:60 = 8:3

Dari contoh tersebut dapat diketahui bahwa untuk membandingkan dua buah besaran perlu diperhatikan :

a. Bandingkan besaran yang satu dengan yang lain
b. Samakan satuannya
c. Sederhanakan bentuk perbandingannya

Dari uraian dan contoh masalah di atas dapat diperoleh arti perbandingan sebagai berikut :

a. Perbandingan antara a dan b ditulis dalam bentuk sederhana atau a : b, dengan a dan b merupakan bilangan asli, dan b  0.
b. Kedua satuan yang dibandingkan harus sama.
c. Perbandingan dalam bentuk sederhana atinya antara a dan b sudah tidak mempunyai faktor persekutuan, kecuali 1.

2. Skala

Istilah skala sering kita jumpai kalau kita membuka peta/atlas.

Jika pada peta tertulis skala 1 : 5.000.000, berarti :
1 cm pada peta mewakili 5.000.000 cm jarak yang sebenarnya, atau
1 cm pada peta mewakili 50.000 m jarak yang sebenarnya, atau
1 cm pada peta mewakili 50 km jarak yang sebenarnya
Skala adalah perbandingan ukuran pada gambar (cm) dengan ukuran sebenarnya (cm) Tampak bahwa skala menggunakan satuan cm untuk dua besaran yang dibandingkan Perlu diingat bahwa : 1 km = 1.000 m = 100.000 cm.
Contoh berikut menjelaskan bagaimana kita menggunakan skala pada sebuah peta.

a. Pada sebuah peta jarak tempat A dan B adalah 3 cm, padahal jarak A dan B sebenarnya 450 km.
Tentukan skala yang dipergunakan pada peta tersebut !

Jawab :
Skala = Ukuran pada peta : Ukuran yang sebenarnya
= 3 cm : 450 km
= 3 cm : 45.000.000 cm (pada skala harus menggunakan satuan cm)
= 3 : 45.000.000
= 1 : 15.000.000

b. Pada sebuah peta jarak kota A ke kota B adalah 8 cm. Jika skala peta itu adalah 1 : 500.000, maka berapakah jarak sebenarnya kedua kota tersebut ?

Jawab :
Skala 1 = 500.000 berarti 1 cm pada peta mewakili jarak 500.000 cm jarak sesungguhnya, atau 1 cm pada peta mewakili jarak 5 km jarak sesungguhnya.

c. Sebuah peta menggunakan skala 1 : 25.000.000 . Jika jarak dua tempat sebenarnya 300 km, berapakah jarak kedua tempat itu pada peta ?

Jawab :
Skala 1 : 25.000.000
Artinya 1 cm pada peta mewakili 25.000.000 cm jarak sesungguhnya, atau 1 cm pada peta mewakili 250 km jarak sesungguhnya.
Jadi jarak kedua tempat itu pada peta adalah 300 : 250 = 1,2 cm

Nah kalian sudah mempelajari perbandingan, skala dan penggunaannya, mudah bukan ?

3.   Skala Sebagai Suatu Perbandingan

Sekarang coba bandingkan ketiga ukuran pas foto berikut :
Apakah pas foto 2 cm x 3 cm sebanding dengan pas foto 3 cm x 4 cm ?
, ternyata pernyatannya salah, jadi tidak sebanding
Sekarang bandingkan pas foto 2 cm x 3 cm dengan pas foto 4 cm x 6 cm !
, ternyata pernyatannya benar, jadi sebanding

Contoh perbandingan di atas akan kita pergunakan untuk menentukan ukuran suatu benda dengan model/benda tiruan/maketnya.

a. Sebuah model pesawat terbang panjang badannya 18 cm, lebar sayapnya 12 cm. Jika lebar sayap pesawat sesungguhnya 8 m, berapakah panjang badan pesawat sesungguhnya?

Jawab:


Jadi panjang badan pesawat sesungguhnya adalah 12 meter.

b. Sebuah gedung bertingkat tampak dari depan lebarnya 20 meter dan tingginya 60 meter. Jika tinggi gedung pada model adalah 12 cm, berapakah lebar gedung pada model ?

Jawab :

Jadi lebar gedung pada model adalah 4 cm.

4. Perbandingan Senilai

Perbandingan senilai berkaitan dengan perbandingan dua buah besaran, di mana jika besaran yang satu berubah naik/turun, maka besaran yang lain juga berunah naik/turun.
Contoh masalah yang berkaitan dengan perbandingan senilai adalah :

• Jumlah barang yang dibeli dengan harga yang harus di bayar
• Jumlah konsumsi bahan bakar dan jarak yang ditempuh
• Jumlah kaleng cat dan luas permukaan yang bisa di cat
• dan lain-lain

Cara menyelesaikan masalah perbandingan senilai adalah dengan :
a. Menentukan nilai satuan
Dilakukan dengan menentukan nilai satuan dari besaran yang dibandingkan, baru kemudian dikalikan dengan besaran yang ditanyakan.
b. Menuliskan perbandingan senilai
Dilakukan dengan perbandingan langsung antara dua keadaan atau lebih

Misalkan diketahui dua besaran A dan B

Karena berlaku perbandingan senilai maka :

Berdasarkan hubungan tersebut diperoleh :

Contoh Soal:

1. Sebuah kendaraan dapat menempuh jarak 24 km dengan mengkonsumsi bensin 2 liter. Berapa liter bensin yang diperlukan untuk menempuh jarak 60 km ?

Jawab :
Cara 1 :
2 liter bensin dapat menempuh jarak 24 km
1 liter bensin dapat menempuh jarak 12 km
Jadi untuk menempuh jarak 60 km diperlukan bensin sebanyak 60 : 12 = 5 liter.

Cara 2 :
Di buat tabel sebagai berikut :

Perhitungan dilakukan dengan :

Jadi untuk menempuh jarak 60 km diperlukan bensin sebanyak 60 : 12 = 5 liter.

2. 1 lusin baju dibeli dengan harga Rp 480.000,00. Berapakah harga 15 buah baju yang sama ?

Jawab :
Cara 1 :
1 lusin baju harganya Rp 480.000,00
1 buah baju harganya Rp 480.000,00 : 12 = Rp 40.000,00
Jadi harga 15 buah baju adalah 15 x Rp 40.000,00 = Rp 600.000,00

Cara 2 :
Dibuat tabel sebagai berikut :

Perhitungan dilakukan dengan :

Jadi harga 15 buah baju adalah 15 x Rp 40.000,00 = Rp 600.000,00

Nah materi perbandingan senilai sudah kalian pelajari, bahkan ada 2 cara menjawab soal, silahkan dipilih alternatif mana yang kalian anggap mudah, tentunya tidak sulit bukan ?

5. Perbandingan Berbalik Nilai

Perbandingan berbalik nilai berkaitan dengan membandingkan dua buah keadaan di mana jika besaran yang satu bertambah/berkurang maka besaran yang lain berkurang/bertambah.
Masalah yang berkaitan dengan perbandingan berbalik nilai antara lain :

• Banyaknya pekerja dengan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan (untuk pekerjaan yang sama)
• Kecepatan dengan waktu tempuh (untuk jarak yang sama)
• Banyaknya ternak dan waktu untuk menghabiskan makanan tersebut (untuk jumlah makanan ternak yang sama)
• Dan sebagainya

Misalkan diketahui dua besaran A dan B

Karena berlaku perbandingan berbalik nilai maka :

Berdasarkan hubungan tersebut diperoleh :

Contoh Soal:

1. Suatu pekerjaan akan selesai dalam waktu 42 hari jika dikerjakan oleh 12 orang. Berapa lama pekerjaan yang sama akan selesai jika dikerjakan oleh 14 orang ?

Jawab :
Dibuat tabel sebagai berikut :

Perhitungan perbandingan berbalik nilai dilakukan dengan membalik Salah satu ruas:

Jadi jika pekerjaan tersebut dikerjakan oleh 14 pekerja akan selesai dalam waktu 36 hari.

2. Jarak kota A ke kota B sama dengan jarak kota B ke kota C. Jika AB dapat ditempuh dengan kecepatan 40 km/jam selama 10 jam, berapakah kecepatan yang harus ditambahkan jika jarak BC akan ditempuh selama 8 jam ?

Jawab :
Dibuat tabel sebagai berikut :

Perhitungan perbandingan berbalik nilai dilakukan dengan membalik salah satu ruas:

Kecepatan yang harus ditambahkan adalah 50 – 40 = 10 km/jam.

Soal-soal UN SMA IPS Matematika

Ini adalah Soal-soal UN SMA IPS Matematika, Soal-soal UN SMA IPS Matematika ini dari Ono W PURBO, kami harapkan Soal-soal ini dapat membantu Anda.

Untuk mendownload Soal-soal UN SMA IPS Matematika silakan klik link di bawah ini

download

Soal-soal UN SMA IPA Matematika

Berikut ini adalah Kumpulan Soal UN SMA IPA Matematika dari ONO W PURBO, Kumpulan Soal UN SMA IPA Matematika kami harapkan dapat menambah refrensi Soal-soal UN Anda dan dapat membantu Anda dalam belajar.

Untuk mendownload Kumpulan Soal UN SMA IPA Matematika silakan klik link di bawah ini

download

Soal-soal UN SMP Matematika

Berikut adalah kumpulan Soal-soal UN SMP Matematika, Soal-soal UN SMP Matematika ini semoga bermanfaat, soal-soal UN SMP Matematika ini dari ONO W PURBO.

Untuk mendownload Soal-soal UN SMP Matematika silakan klik link di bawah ini

download

Hello world!

Welcome to WordPress.com. This is your first post. Edit or delete it and start blogging!